第5章投资组合
引导案例
巴和国内专家的投资组合比较
根据巴20__年给股东的信，巴投资组合中的十大重仓股票是：
股票名称
公司尔玛
公司法国赛偌非-集团强生集团
持股数量（万股）
20000.XXX.XXX.078312.XXX.25394.753903.XXX.002510.3771.13
市值（百万美元）
1140XXX092XXXX7198XXXX1926
中国投资市场目前最有影响力的基金经理是王，其管理的基金——华夏蓝筹，20__年中报披露的十大重仓股票是：
股票名称银行东阿阿胶
持股数量（万股）
26.4860.942076.81635.535703.971956.27928.37866.555303.34487.36
市值（万元）60948.XXX.XXX.XXX.XXX.XXX.XXX.XXX.XXX.XXX.66
案例思考
仔细对比上述两个投资组合，找出其中的最大差异，并以本章有关理论为基础，解释这种差异，对两个投资组合的优劣进行评价。
投资组合(portfolio)是指将资金配置在一种以上的证券上，获取在风险可控下最大化回报的投资方式。本章将从理论上分析，投资组合降低风险、提高收益的机制，如何构建最优化的投资组合等问题。
5.1两种证券组合的收益和风险
两种证券构成的投资组合，是的投资组合形式，是分析三种以上证券组合的基础。假设有两种证券SA、SB，投资者将资金按照_A、_B的比例构建证券组合，则该证券组
合的收益率可以表示为：
RP_ARA_BRB
上式中_A+_B=1，且_A、_B可以是正数也可以是负数，负数表示卖空该股票，实
际上就是借钱买另外一只股票。
5.1.1两种证券组合的预期收益率
根据概率论有关知识，两种证券组合的预期收益率可以用下面的公式表示：
E(RP)_AE(RA)_BE(RB)
公示表明，两种证券组合的预期收益率是两种证券预期收益率的加权平均，权数是投资在该证券上的资金比例。很容易证明，在没有卖空的情况下，证券组合的期望收益率总是依据投资于两种证券的资金比例在两种证券期望收益率之间变动，即既不会超过其中期望收益率的大者，也不会小于其中期望收益率的小者。因此，在没有卖空的情况下，证券组合并不会提高投资收益率水平。但一旦发生卖空行为，证券组合收益率的波动范围将极大增加，因为投资者可以通过卖空期望收益率较低的证券品种来扩大证券组合的期望收益率。
【例题5-1】投资者投资于收益率分别为20%和10%的江苏工艺和大众交通两种股票。问：①如将自有资金10000元等比例投资于两种股票上，则投资者的期望收益率是多少②如先卖空大众交通股票16000元，然后将所得资金与自有资金10000元一起购买江苏工艺，则投资者的期望收益率又是多少
解答：①将资金等比例投资在两种股票上时，根据投资组合预期收益率公式可得，该投资者的期望收益率为：
E(RP)=50%_20%+50%_10%=15%
②这时投资在大众交通和江苏工艺上的资金比例分别为：
之间也是
1，则_B0，E(RP)E(RA),
A得到直线上的一
0，E(RP)E(RB)，B，得到直线上的一点B。连接
这两点得到一条直线（见图5-2）。这条直线就是两证券收益率变动完全正相关时构成的证券组合的可行集。
当两种证券收益率变动完全负相关（即AB1）时，证券组合的期望收益率与风险为：
E(RP)_AE(RA)(1_A)E(RB)
2_A(1_A)A
0，并将有关数据代入，可得：1/3
因此，最小方差投资组合的预期收益率为
E(RP)_AE(RA)_BE(RB)
20%13.33%
可行集中存在最小方差投资组合适合相关系数-1AB1的任意两种证券。根据
2A2A
2_A(1_A)ABAB，令
dPd_
可以求得证券组合最=0，
小方差时各证券的比例：
2ABA
2ABA
5.2.2两种风险证券组合的有效集
证券组合的可行集表示了所有可能的证券组合，其为投资者提供了一切可行的投资机会，投资者现在需要做的是，在可行集中选择满意的证券组合即有效率的证券组合进行投资，这就是证券组合的有效集问题。
证券组合的有效集(efficientset)，又称为有效边界(efficientfrontier)，是指在期望收益率一定时其风险（即标准差）最低的证券组合，或者指在风险一定时其期望收益率最高的证券组合。
根据定义可知，有效集是可行集的一个子集。从两种证券组合的可行集中，可以很容易找到证券组合的有效集：
当两种证券收益率相关系数在-1到+1之间时，两种证券组合的有效集是其可行集的上半部分，即从最小方差沿着曲线向上方延伸（参见图5-1）。
当两种证券收益率变动完全正相关时，有效集就是可行集，即由直线AB构成（参见图5-2）。
当两种证券收益率变动完全负相关时，有效集是可行集中的AF射线（参见图5-3）。
5.2.3无风险证券和风险证券构成组合的可行集和有效集
前面分析的两种证券组合都以风险证券为对象，如果两种证券中有一种是无风险证券，情况要相对简单得多，但同时可以得到一些非常有价值的结论。
设无风险证券SF的收益率Rf是常数，在平面(,E(R))内表示为E(R)轴上的一个点F，风险证券SA的期望收益率为E(RA)，投资风险为A，在平面(,E(R))上对应于点A。以这两项证券构成一个证券组合，其中风险证券的权重为_，无风险证券的权重为1-_，则证券组合RP(1_)Rf_RA的期望收益率和方差分别为：
E(RP)(1_)Rf_E(RA)Rf[E(RA)Rf]_
P(1_)F_
2(1_)_FA_
代入E(RP)中，可以得到：
E（RP）RfE(RA)RfAP
上式表明：
由无风险证券与风险证券所构成的组合的可行集同时也是有效集，在平面(,E(R))内为经过F点和A点的斜率为(E(RA)Rf)/A、截距为Rf的一条射线（如图5-4所示）。
此射线被称为资本分配线（CapitalAllocationLine，简称为CAL），表明风险资产和无风险资产之间的各种可行的风险-收益组合的图形。
证券组合RP的期望收益率包含两部分，一部分是无风险收益率，另一部分是风险溢
价，其与投资风险P的大小成正比。这从理论上证明了我们一直坚持的观点，高风险与高
风险相匹配。
图5-4一种无风险证券与一种风险证券组合的有效集
资本分配线在投资市场的现实意义是，投资者通过调节持有的现金或国债等无风险资产的比例，可以达到控制风险的目的。
【例5-6】你管理一种预期回报率为18%和标准差为28%的风险证券组合，短期国债利率为8%。假如你的委托人想把投资额的Y比例投资到你的基金中，以使其总投资的预期回报最大，同时满足总投资标准差不超过18%的条件。问：①投资比例Y是多少②总投资预期回报率是多少
解答：①上述问题实际上就是一个无风险证券和一个风险证券构成的证券组合。根据有关公式可得：PYAY28%
按照假设条件须满足：28%Y≤18%，即Y≤0.。由于组合预期回报率要最大，故投资在风险证券上的比例Y必须取最大值，即Y=0.。
②总投资预期回报率为：
E(RP)(1Y)RfYE(RA)=（1-0.）_8%+0._18%=14.4%
5.3三种以上证券构成的组合
在分析了两种证券构成的证券组合的基础上，可以将分析扩展到三种以上证券构成的10
组合。三种以上证券构成的组合更加复杂，但也更能体现组合投资的精髓。
5.3.1三种以上证券组合的期望收益率和风险
我们先分析证券数量为三只和四只时的投资组合。设有三种证券S1、S2、S3，其收益率分别为R1、R2、R3，将资金按照_1、_2、_3(_1_2_31)的比例配置在这三种证券上，则这样构成的投资组合P的收益率RP为：
_iRi_1R1_2R2_3R3
该组合的期望收益率和方差分别为：
E(RP)
_iE(Ri)_1E(R1)_2E(R2)_3E(R3)
_i_jiji
i1j1
11_1_21212_1_31313_2_11221
_2222
22_2_32323_3_11331_3_22332_33
_2211_2222
22_33
2_1_212122_1_313132_2_32323
同样，当证券数量为四只时，其构成的投资组合的期望收益率和方差分别为：4
E(RP)
_iE(Ri)_1E(R1)_2E(R2)_3E(R3)_4E(R4)
_i_jiji
i1j1
11_1_21212_1_31313_1_41414_2
2_11221_22_2_32323_2_42424
__22
3_113313_22332_33_3_4343
4_22
4_11441_4_22442_4_33443_44_2
11_22_33_44
2_1_212122_1_313132_1_414142_2_323232_2_424242_3_41434
一般地，n种证券S1、XXX构成的证券组合P的收益率RP为：
XXX
该证券组合的期望收益率和方差分别为：
E(RP)
_iE(Ri)_1E(R1)_2E(R2)XXX(Rn)
_i_jCov(Ri,Rj)
_i_jiji
5.3.2三种以上证券组合的可行集和有效集
先观察三种证券组合的可行集。设有三种证券SA、SB、SC，在不允许卖空的情况下，三种证券所能得到的所有组合将落在并填满坐标系中两种证券组合可行集曲线AB、BC、AC围成的区域（见图5-5），该区域称为不允许卖空时证券SA、SB、SC的证券组合可行集。之所以在图7-7中的区域都是可行集，原因在于区域内任意一点都可以通过三种证券组合而得到，如区域内的F点可以通过证券SC与某个证券SA、SB的某个组合D的再组合得到。
E（R）
如果允许卖空，三种证券组合的可行集是包含上述区域的一个无限区域。
三种以上证券组合的可行集非常类似三种证券组合的可行集，其可行集如5-6所示。
从多种证券组合的可行集即图5-6中的ABCD区域内，可以发现，多种证券组合的有效
集是区域左边界的一段即BCD（又称上边界）曲线。这里B点是一个特殊的位置，它是上边界和下边界的交汇点，这一点所代表的组合在所有可行组合中方差最小，因而被称为最小方差组合。
【例题5-7】根据有关的准则，表5-5中的资产组合中哪个不会落在有效边界上
表5-5资产组合的期望收益率和标准差
资产组合期望收益率％标准差％
A921
C1536D1215
解答：对比组合A和D不难发现，组合A的收益率较低，同时风险却较大。因此，根据有效边界选择的两个标准，投资者显然不会选择组合A进行投资，即组合A不应该在有效边界上。
你也可以通过画图的形式做出同样的判断。
5.3.3一种无风险证券和多种风险证券组合的可行集和有效集
设n种风险证券S1，S2，…，Sn构成组合的有效集是曲线ERN（见图5-7），T为风险证
券有效集ERN上的某一风险证券的组合(其可以看成一只风险证券)。现将无风险证券F与风险证券组合T进行再组合，所形成的组合为RP。很明显，组合RP的可行集（也是有效集）
仍为一条射线（如图5-7中的CAL（T））。这条射线也是始于无风险证券F，所取的T点位置不同，射线CAL（T）的斜率就不同。
在所有的资本分配线中，由风险证券SM和无风险证券SF进行再组合所形成的可行集
(也是有效集)射线CAL（M）的斜率最大。这一条可行集射线被称为最优资本分配线，相应的投资组合M被称为切点组合。切点M是通过无风险证券所对应的点F作
n种风险证券有效集的切线而得到的。
5.3.4多种证券组合对风险的降低
当证券组合中包含的证券数量较少时，组合有较高的风险。随着证券组合所包含的证券数量的增加，组合的风险会减小。这个过程被称为分散化。
投资专家发现，分散化过程有如下几个特点：
在整个分散化过程中，最初增加的少数股票（2，3，4，5，6）对组合风险的降低具有非常显著的效果。
当组合内的股票增至10到15时，组合风险降低的效果就不太明显了。组合中的股票超过15只时，组合风险几乎不再降低。这种分散化的效果可以用图5-8表示。
平均系统风险n（组合内股票数目）
XXX
图5-8证券组合分散风险的效果
证券组合分散风险的效果，可以从数学上证明。假设有n种证券Si，将资金等比例投资在所有证券上构成一个证券组合RP，该证券组合的方差为：
上式中的第一项随着n的不断增加趋近于零。组合风险内的第二项双重积和共有n-n（或者n（n-1））。设协方差的平均值为ij，即：
由此可得：
i1j1
n(n1)
ijn(n1)
n(n1)n
ij(1
故当组合内股票数量增至无穷大时，第一项接近于零，第二项接近协方差平均值ij。协方差反映两种证券收益率变动相互影响的关系，而对两种证券收益率都能产生影响的风险必然是系统风险，因而协方差可以看成系统风险的一个量度。因此，在股票数量增至无穷大时，证券组合的风险只包含了平均系统风险ij，也就是：
即证券组合分散风险所能达到的最低风险是组合内所有股票的平均系统风险。
【例题5-8】某投资者偏好投资ST类股票，因为他认为这些股票价格低，未来一旦重组成功上升空间将极其广阔。但是他也担心，这些股票中可能出现退市的股票。于是，他于20__年7月23日将资金平均分配在10只ST股票上，决定对ST股票构造一个投资组合，并称之为ST基金。他的ST股票基金如下：股票名称ST磁卡S达尔ST波导S
股票价格4.71元3.04元4.29元4.29元4.92元
股票名称珠江明科石砚思达ST金花
股票价格4.73元4.63元3.88元4.72元4.49元
假定这些股票未来一年内大涨大跌的可能性非常大，都是50%，大跌损失的最大可能是股票的价值为零，大涨最大的可能是股价上涨500%。问：①该投资者在一年里所有股票全部大跌的可能性是多少②该投资者在一年里至少有一只股票大涨的可能性是多少③如果S、ST金花、ST波导重组成功年末股票价格达到20元，ST磁卡、S经过重大重组价格上升到10元，达尔未有重组动向价格仍然是4.29元，XX、XX、XX、XX等公司经营日益困难，即将退市致使其价格下跌到接近为零，该投资者的收益率是多少
解答：①由于单个股票大跌的可能性是0.5，且这些股票是否大跌互不相关，因而所有股票同时大跌的可能性是0.5
0.000976。说明，所有股票同时大跌的可能性相当小。
②所有股票至少有一只大涨的可能性是10.510..999024。接近1，
说明这种可能性相当大。
③将资金等比例投资在10只股票的收益率是：
各只股票的投资收益率10
1104.71103.044.294.29204.29104.713.044.294.29204.924.92
04.734.73
04.634.63
03.883.88
04.724.72
204.494.49
95.94%
可见，该投资者的预期收益率相当高。当然，这只是一个假设的事例，但其中是否有
值得我们思考的地方呢
内容提要
⊙证券组合的期望收益率是各证券期望收益率的加权平均，其权数就是投资于各证券的资金比例。证券组合的方差不但包含了原先个别证券的风险（有权数进行调整），还隐含个别证券之间相互影响所带来的风险。
⊙协方差测度两只证券回报率之间的互动性，实际上反映了系统风险对证券收益率的影响。即两种证券回报率之间一起变动的方向和程度。
⊙两种证券组合的可行集可以是直线，或者折线，抑或双曲线，具体形状取决于两只证券的相关系数。三种以上证券组合的可行集是一个二维实体区域。从可行集中，可以找到有效集，理性投资者的投资组合都应该在有效集上。
⊙随着组合中证券数量的增加，组合的风险呈现明显降低的趋势。但在组合证券数量达到15只以上时，增加证券数量，降低风险的效果越来越不明显。一个充分分散的组合可以消除所有的非系统风险，其风险大小最后完全由系统风险所决定。
关键概念
投资组合协方差相关系数可行集机会集合有效集有效边界资本分配线
问题和应用
1.投资者把财富的30%投资于一项预期收益为0.15、方差为0.04的风险资产，70%投资于收益为6%的国库券，其资产组合预期收益和标准差是多少
2.你正在考虑投资1000元于5%收益的国债和一个风险资产组合P，P由两项风险资产_和Y组成。_、Y在P中的比重分别是0.6和0.4，_、Y的预期收益分别是0.14和0.1。如果你要组成一个预期收益为0.11的资产组合，你应投资于国库券和资产组合P的比例是多少
3股票A和股票B的概率分布如下表：状态12345
概率0.10.20.20.30.2
A股票的收益率（%）B股票的收益率（%）1013XXXX1415
87698
问：①A股票和B股票的协方差是多少②两种证券组合的最小方差资产组合为G，股票A和股票B在资产组合G中的权重分别是多少
4..考虑两种完全负相关的证券A和B。A的期望收益率为10%，标准差为16%。B的期望收益率为8%，标准差为12%。则用两种证券组合成的无风险投资组合的收益率是多少
5._、Y、Z三种股票具有相同的期望收益率和方差，下表为三种股票之间的相关系数。
Y0.91
Z0.1-0.41
根据这些相关系数，风险水平最低的资产组合为________。
A平均投资于_、YB平均投资于_、ZC平均投资于Y、ZD全部投资于Z6.某个投资者对三只股票_、Y、Z的前景都比较看好，但是不知道具体哪个股票会先涨，也不能肯定哪个股票的上涨幅度是多少。请你帮助投资者做出抉择（如何使用资金），并说明具体原因。
7.分析师给出了如下三个优良的投资组合，你认为投资者应该选择哪一个为什麽组合一
股票名称地产
股票名称人寿
股票名称XX股份上海电力
资金比例10%15%10%15%10%
股票名称XXX天方药业奥飞动漫包钢稀土
资金比例8%8%8%6%10%
资金比例15%10%10%10%15%
股票名称XX轿车荣XX
资金比例8%10%6%6%10%
资金比例15%10%10%15%10%
股票名称荣安地产中国平安
资金比例8%10%6%6%10%
8.查找并分析一家公募基金的投资组合。
9.从投资组合的角度分析，为什么购买保险是必须的
